FORMAS BILINEALES Y CUADRaTICAS


1. En una f:R3->R2 aplicación se tiene :

f(0,1,0)=(0,2,0)

f(1,0,0)=(1,2,0)

Hallar la imagen del vector (0,0,1) sabiedo que el vector (1,1,1) pertenece al núucleo de f. Determinar las ecuaciones del núcleo y una de sus bases.

2. Sea f un endomorfismo de R3 referido a una base . Se sabe que:

Hallar la matriz asociada a f cuando nos referimos a otra base , sabiendo que:


3. Sea f un endomorfismo de R3 que admite por vectores propios:

v1=(-1,2,2) ; v2=(2,2,-1) ; v3=(2,-1-2)

Se sabe también que f(u)=w siendo u=(3,3,3) y v=(9,3,6)

a) ¿Es f diagonalizable?. Razónese la respuesta.

b) Hallar la matriz de f en la base canónica.


4. Sea f un endomorfismo de R3 definido respecto de la base por :

f(u)=-u+2v+2w

f(v)=2u+v-4w

f(w)=-u+2v+2w

a) Hallar f(x)

b) Ecuaciones y base del núcleo de f.

c) Ecuaciones y base de la imagen de f.

d)Hallar una aplicación lineal cuyo núcleo esté generado por (1,2,3,4) y (0,1,1,1)


5.Se considera el endomorfismo del espacio vectorial R4 definido de la siguiente forma:

-El núcleo del endomorfismo es el subespacio vectorial de R4 de ecuaciones:

x+y+z=0 ; t=0

-Los vectores (1,1,1,0) y (0,0,0,1) se transforman en si mismos.

Se pide:

a) La matriz del endomorfismo en la base canónica de R4.

b) Dado el subespacio de ecuaciones implícitas:

x+y+z=0

t=0

x-y+2t=0

c) Matriz del endomorfismo en la base:B={u,v,(1,1,1,0),(0,0,0,1)} , siendo


6. Sea el homomorfismo de espacios vectoriales definido por:

f(1,1,1,1=(0,0,1)

f(1,0,1,0)=(1,1,-1)

f(-1,-2,0,0)=(1,1,1)

f(1,1,1,0)=(0,0,-1)

Hallar:

a) La matriz asociada a f respecto las bases canónicas.

b) Sendas bases para el núcleo e imagen de f.

c) ¿Es f inyectiva?¿Por qué?

d) Matriz asociada a f respecto de las bases:

B={(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(0,1,0,1)} en R4 y la canónica en R3.


7. Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre r.Sea:

A=1 203 Se define la aplicación:f:V->V tal que f(A)=AM-MA. Probar que f es lineal y hallar una base y la dimensión del núcleo.


8. Se tiene el conjunto {I,Sx,Sy,So} de aplicaciones de R2 en R2 definidas de la siguiente forma:

I(x,y)=(x,y) Sx(x,y)=(x,-y) Sy (x,y)=(-x,y) So (x,y)=(-x,-y)

a) Demostrar que estas aplicaciones son lineales

b) Hallar las ecuaciones matriciales de estas aplicaciones.

c) Comprobar que las matrices asociadas a I,Sx,Sy,So forman un grupo multiplicativo abeliano y hallar sus subgrupos.


9. Estudiar el endomorfismo f de R3 por el que , dado un tetraedro OABC, los vectores libres representantes de OA, OB, OC se transforman respectivamente en los representantes de BC, CA y AB. Hallar la matriz asociada , el núcleo y el subespacio imagen de f .


10. Sea f un endomorfismo de R3 definido por:

f(x,y,z)=(x+ay+az,ax+y+az,ax+ay+z) (a número real)

Determinar para los distintos valores de a:

a) La dimensión y una base de f(R3) y N(f).

b) El tipo de la aplicación f


11. Sea V un espacio vectorial sobre R y sea B={v1,v2,v3} una base del mismo. Consideremos un endomorfismo f de V que verifica:

a) v1 es vector propio de valor propio a

b) f(v1)=f(v2)

c) v1+v2 pertenece al Núcleo de f

i) Probar que f es diagonalizable

ii) Calcular sendas bases del núcleo y subespacio imagen de f.

iii) Analizar si v2 puede ser vector propio de f.


12. Sea aplicación lineal dada por:

f(x,y,z)=[(m-2)x+2y-z,2x+my+2z,2mx+2(m+1)y+(m+1)z]

Razónese si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:

a) Base N(f)={(3,-1,-2)} si m=2

b) Base N(f)={(2,1,-2)} si m=0

c) Base Im(f)={(1,-1,3),(0,1,1)} si m=0

d) Base Im(f)={(0,1,2),(1,1,3)} si m=2


13. Sea V y W espacios vectoriales sobre K se dimensiones 4 y 3 respectivamente. Se considera las aplicaciones lineales:

¿Puede ser f suprayectiva?¿Puede ser g inyectiva?¿Puede ser un endomorfismo de V inyectivo pero no biyectivo?¿Puede ser la aplicación compuesta f[g] una aplicación biyectiva?


14. Si f:R3->R2 es un homomorfismo, ¿son ciertas las siguientes afirmaciones?

a) f no puede ser inyectiva

b) N(f)={0}

c) La familia imagen de cualquier base de R3 es una familia libre

d) La familia imagen de cualquier base de R3 es una familia ligada


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