RESUMEN: APLICACIONES LINEALES
DEFINICION
Sea f:E->F, f es una aplicación lineal si verifica:
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(ax)=af(x)
a pertenece a K , x,y pertenecen a E
También se puede ver de la siguiente manera:
f(ax+by)=af(x)+bf(y)
NUCLEO
ker f=Nf={ v de E/f(v)=0 } subespacio vectorial de E
IMAGEN
Imf=f(E)={w de F/ existe v de E:f(v)=w} subespacio vectorial de F
dim E=dim Kerf +dim f(E)
El subespacio imagen vienen generado por la imagen de una base cualquiera de E.
Una aplicación lineal estará totalmente definida si se conocen las imágenes de los vectores de una base cualquiera de E.
Sea BE={e1,e2, .... , e3}
f(x)=f(x1e1+x2e2+...+xnen)=x1f(e1)+x2f(e2)+ ... +xnf(en)
APLICACIÓN INYECTIVA
f inyectiva <=> Ker f={0}
APLICACIÓN SUPRAYECTIVA
f(E)=F
Si la aplicación es biyectiva: isomorfismo
Si la aplicación se establece entre un grupo y el mismo: endomorfismo
Si es un endomorfismo biyectivo : automorfismo
MATRIZ ASOCIADA
La matriz asociada a la aplicación en una base dada, es la matriz que tiene por columnas las imágenes de los vectores de las base.
f ->
Y=A·X
Se verifica dim f(E)=rango A
Kerf A·X=[0]
CAMBIOS DE BASE EN UNA APLICACION LINEAL
En endomorfismos:
COMPOSICIÓN DE APLICACIONES
La matriz asociada a h será B·A siendo A la matriz asociada a f y B la asociada a g
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