RESUMEN: APLICACIONES LINEALES


DEFINICION

Sea f:E->F, f es una aplicación lineal si verifica:

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(ax)=af(x)

a pertenece a K , x,y pertenecen a E

También se puede ver de la siguiente manera:

f(ax+by)=af(x)+bf(y)

NUCLEO

ker f=Nf={ v de E/f(v)=0 } subespacio vectorial de E

IMAGEN

Imf=f(E)={w de F/ existe v de E:f(v)=w} subespacio vectorial de F

dim E=dim Kerf +dim f(E)

El subespacio imagen vienen generado por la imagen de una base cualquiera de E.

Una aplicación lineal estará totalmente definida si se conocen las imágenes de los vectores de una base cualquiera de E. Sea BE={e1,e2, .... , e3}

f(x)=f(x1e1+x2e2+...+xnen)=x1f(e1)+x2f(e2)+ ... +xnf(en)

APLICACIÓN INYECTIVA

f inyectiva <=> Ker f={0}

APLICACIÓN SUPRAYECTIVA

f(E)=F

Si la aplicación es biyectiva: isomorfismo

Si la aplicación se establece entre un grupo y el mismo: endomorfismo

Si es un endomorfismo biyectivo : automorfismo

MATRIZ ASOCIADA

La matriz asociada a la aplicación en una base dada, es la matriz que tiene por columnas las imágenes de los vectores de las base. f ->
y_1a_11a_12...a_1nx_1 y_2a_21a_22...a_1nx_2 ............x_1 y_ma_m1a_m2...a_1nx_n

Y=A·X

Se verifica dim f(E)=rango A

Kerf A·X=[0]

CAMBIOS DE BASE EN UNA APLICACION LINEAL

A'=Q_^-1^AP

En endomorfismos:

A'=P_^-1^AP

COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

La matriz asociada a h será B·A siendo A la matriz asociada a f y B la asociada a g


NOTA :Esta pagina utiliza el tag MATH de HTML 3.0. Si tu programa no lo soporta veras alguna de las funciones de manera incorrecta.

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