FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS


1. Decir cuáles de las siguientes aplicaciones son formas bilineales sobre R2:

a) f : R2xR2 ->f[(x1,x2),(y1,y2)]=x1+y2

b) g : R2xR2 ->g[(x1,x2),(y1,y2)]=x1y2

c) h : R3xR3 ->h(x,y)=5x1y1+4x1y2+1-x2y1+5x3y1


2. Sea la forma bilineal definida sobre R2 por:

f[(x1,x2),(y1,y2)]=3x1y1-2x1y2 +4x2y1-x2y2

a) Hallar la matriz A de f en la base {u1=(1,1) , u2=(1,2)}

b) Hallar la matriz B de f en la base {v1=(1,-1) , v2=(3,1)}

c) Hallar la matriz de transición P de la base {ui} a la base {vi} y que verifique B=tPAP.


3. Dada una forma bilineal f sobre R que está definida respecto de la base B={e1,e2} por:

f(e1,e1)=0 , f(e1,e2)=2 , f(e2,e1)=1 , f(e2,e2)=-1

Hallar:

a) Su matriz respecto a la base B

b) Calcular f(v1,v2) siendo v1=2e1-e2 , v2=3e1+2e2

c) Calcular la matriz de f respecto a la base B'={u1,u2} con u1=e1-e2 , u2=2e1+3e2.


4. Una forma bilineal f sobre R3 está definida respecto de la base B={u,v,w} por:

f(u,u)=2, f(v,v)=f(w,w)=1, f(u,v)=f(v,u)=-ß

f(u,w)=f(v,w)=2, f(w,u)=0, f(w,v)=-2ß

a) Hallar su matriz respecto a B y calcular f(x,y) siendo x=2u-w; y=v+2w.

b) Determinar la forma cuadrática asociada y su matriz.

c) Reducir a suma de cuadrados independientes la forma cuadrática obtenida para ß=1. Dar su expresión y la base correspondiente.


5. Sea V el espacio vectorial sobre R de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 2, incluido el polinomio 0. Se define la aplicación dada por:

&int 0,1 p(x)q(x)dx
Demostrar que f es una forma bilineal simétrica y hallar la matriz de f respecto de la base canónica de V , así como la forma cuadrática asociada a f.


6. En el espacio vectorial de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 2 sobre R se define la siguiente aplicación:

f[p(x),q(x)]=p(1)q(1)+p(2)q(2)+p(3)q(3)

Probar que f es una forma bilineal simétrica y hallar la matriz asociada de la forma cuadrática asociada .


7. Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre R. Sea:

A= 12 03 y sea f(A,B)=tr(AtMB)

donde (A,B) pertenecen a V y tr denota la traza (suma de los elementos de la diagonal principal).

a) Demostrar que f es una forma bilineal sobre V

b) Hallar la matriz de f en una base cualquiera de V.


8. Hallar la forma diagonal de la forma cuadrática 2x12+x22+x32-2x1x2+2x1x3 , determinando una matriz de transformación.


9. Se considera la forma cuadrática

a) Calcular la matriz asociada en la base canónica a la forma polar asociada a fc

b) En el caso a=b=1 y c=-1 hallar una base en la cual la matriz asociada a la forma cuadrática sea diagonal.


10. Se considera la forma cuadrática de R4:

f(x,y,z,t)= 2x2+y2+z2+2xy+2xz

a) Escribir la forma bilineal simétrica polar de f y su matriz M.

b) Hallar la forma diagonal de f y la base en la que la adquiere.


11. Clasificar las siguientes formas cuadráticas de R2:

a) x12+4x1x2-x22

b) x12-2x1x2+x22

c) -x12+x22


12. Hallar una transformación ortogonal para reducir las formas cuadráticas siguientes a suma de cuadrados:

a) 2x12+x22+x32-2x1x2+2x1x3 b) 6x12+5x22+7x32-4x1x2+4x1x3

c) 2x1x2+2x1x3+2x2x3


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