La triangulación y el modelo TIN

Parte 17

la triangulación

TIN, la red de triángulos irregulares

El modelo TIN tiene varias cualidades de interés:

no presupone ni exige la continuidad estadística de la superficie a representar
puede generarse incorporando una amplia variedad de estructuras auxiliares
se adapta a la complejidad del terreno, variando la densidad local de la red
respeta los valores de los datos que son usados como vértices

La creación de un TIN se compone de dos partes diferentes:

la triangulación propiamente dicha
la selección de los puntos a usar

La triangulación es un tópico bien conocido utilizado en numerosas aplicaciones como robótica, análisis de elementos finitos, visión artificial y síntesis de imágenes (Cignoni et al., 1994:2).
En el caso de los SIG el método más habitual es el conocido como triangulación de Delaunay, TD:

dados 2 puntos P_i y P_j, en un plano T, la perpendicular al segmento P_i P_j en su punto medio divide el plano en dos regiones V_i y V_j

la región V_i contiene todos y sólo los puntos cuya distancia a P_i es menor que a P_j y viceversa

el concepto se extiende a múltiples puntos P_n de forma que cada uno de ellos se asocia a una región V_n
si el concepto se aplica a un dominio cerrado se genera un conjunto de polígonos convexos que teselan el plano denominados regiones de Voronoi
si se conectan entre sí los puntos que comparten un borde de una región se obtiene una triangulación de Delaunay

La forma más trivial de construir un TIN es usar todos los vértices y nodos de las curvas de nivel, así como los puntos singulares como vértices de triángulos. Este modelo masivo no es deseable:

por la enorme cantidad de elementos que sería necesario construir y manejar para una zona de cierta extensión.
por la redundancia debida a que muchos puntos procedentes de una digitalización rutinaria no aportan una información significativa.

Formalmente, el problema puede plantearse como sigue:

dado un conjunto H de n puntos acotados, elegir un subconjunto mínimo S de H constituido por m puntos, a partir del cual pueda reconstruirse H con el menor error posible.

Los dos enfoques básicos son:

Hacer la selección antes de la triangulación y realizar posteriormente un modelo masivo. La estrategia es suministrar al algoritmo de TD los puntos básicos ya elegidos mediante la adecuada generalización cartográfica de las curvas de nivel y una selección de puntos críticos.
Utilizar un algoritmo de TD que realice la selección según realiza la construcción de la red.

Los métodos de construcción de TIN más utilizados pueden agruparse en las siguientes clases:

inserción incremental, que comienza con una triangulación mínima y a la que se añaden progresiva y selectivamente nuevos puntos como vértices de la red.
reducción selectiva, por eliminación de puntos a partir de un modelo masivo mediante criterios de incremento mínimo del error.

La transformación vector-raster

Los modelos basados en triángulos generan una estructura más difícil de manejar que la matriz regular.
Por este motivo, lo más usual es crear un MDE según el modelo TIN y, posteriormente, generar un MDE matricial convencional.
Aunque la estructura matricial no puede representar puntos singulares ni estructuras lineales como el TIN, el proceso aprovecha parcialmente la capacidad del TIN para integrar discontinuidades en la generación del MDE por lo que es preferible a la generación directa de la matriz regular a partir de los datos de entrada.
La interpolación puede realizarse por dos métodos básicos:

interpolación lineal, donde la altitud del punto problema se estima directamente a partir la ecuación del plano definido por los tres vértices del triángulo que lo contiene
interpolación quíntica, que considera la superficie definida por el TIN como un continuo y, por tanto, suaviza las zonas de los vértices y lados; para esta interpolación se utiliza una ecuación polinómica bivariable de quinto grado.

	Parte 17
la triangulación
	TIN, la red de triángulos irregulares
	El modelo TIN tiene varias cualidades de interés: no presupone ni exige la continuidad estadística de la superficie a representar puede generarse incorporando una amplia variedad de estructuras auxiliares se adapta a la complejidad del terreno, variando la densidad local de la red respeta los valores de los datos que son usados como vértices
	La creación de un TIN se compone de dos partes diferentes: la triangulación propiamente dicha la selección de los puntos a usar
	La triangulación es un tópico bien conocido utilizado en numerosas aplicaciones como robótica, análisis de elementos finitos, visión artificial y síntesis de imágenes (Cignoni et al., 1994:2). En el caso de los SIG el método más habitual es el conocido como triangulación de Delaunay, TD: dados 2 puntos P_i y P_j, en un plano T, la perpendicular al segmento P_i P_j en su punto medio divide el plano en dos regiones V_i y V_j la región V_i contiene todos y sólo los puntos cuya distancia a P_i es menor que a P_j y viceversa el concepto se extiende a múltiples puntos P_n de forma que cada uno de ellos se asocia a una región V_n si el concepto se aplica a un dominio cerrado se genera un conjunto de polígonos convexos que teselan el plano denominados regiones de Voronoi si se conectan entre sí los puntos que comparten un borde de una región se obtiene una triangulación de Delaunay
	La forma más trivial de construir un TIN es usar todos los vértices y nodos de las curvas de nivel, así como los puntos singulares como vértices de triángulos. Este modelo masivo no es deseable: por la enorme cantidad de elementos que sería necesario construir y manejar para una zona de cierta extensión. por la redundancia debida a que muchos puntos procedentes de una digitalización rutinaria no aportan una información significativa.
	Formalmente, el problema puede plantearse como sigue: dado un conjunto H de n puntos acotados, elegir un subconjunto mínimo S de H constituido por m puntos, a partir del cual pueda reconstruirse H con el menor error posible.
	Los dos enfoques básicos son: Hacer la selección antes de la triangulación y realizar posteriormente un modelo masivo. La estrategia es suministrar al algoritmo de TD los puntos básicos ya elegidos mediante la adecuada generalización cartográfica de las curvas de nivel y una selección de puntos críticos. Utilizar un algoritmo de TD que realice la selección según realiza la construcción de la red.
	Los métodos de construcción de TIN más utilizados pueden agruparse en las siguientes clases: inserción incremental, que comienza con una triangulación mínima y a la que se añaden progresiva y selectivamente nuevos puntos como vértices de la red. reducción selectiva, por eliminación de puntos a partir de un modelo masivo mediante criterios de incremento mínimo del error.
	La transformación vector-raster
	Los modelos basados en triángulos generan una estructura más difícil de manejar que la matriz regular. Por este motivo, lo más usual es crear un MDE según el modelo TIN y, posteriormente, generar un MDE matricial convencional. Aunque la estructura matricial no puede representar puntos singulares ni estructuras lineales como el TIN, el proceso aprovecha parcialmente la capacidad del TIN para integrar discontinuidades en la generación del MDE por lo que es preferible a la generación directa de la matriz regular a partir de los datos de entrada. La interpolación puede realizarse por dos métodos básicos: interpolación lineal, donde la altitud del punto problema se estima directamente a partir la ecuación del plano definido por los tres vértices del triángulo que lo contiene interpolación quíntica, que considera la superficie definida por el TIN como un continuo y, por tanto, suaviza las zonas de los vértices y lados; para esta interpolación se utiliza una ecuación polinómica bivariable de quinto grado.