Métodos de interpolación

Parte 16

la interpolación

Método general: IDW (ponderación por distancia)

La interpolación del punto problema se realiza asignando pesos a los datos del entorno en función inversa de la distancia que los separa -inverse distance weighting, IDW-.
La fórmula general es:

donde es el valor estimado para el punto j ; n es el número de puntos usados en la interpolación; z_iel valor en el punto i-ésimo y k_ij el peso asociado al dato i en el cálculo del nodo j. Los pesos k varían entre 0 y 1 para cada dato y la suma total de ellos es la unidad.

Para establecer una función de proporcionalidad entre el peso y la distancia, la fórmula general queda como sigue:
donde y b es un exponente de ponderación que controla la forma en la que el peso disminuye con la distancia.

Esta familia de métodos permite la generación del MDE de una forma rápida y simple. Sin embargo, se trata esencialmente de una media ponderada y, por tanto, el resultado se encuentra siempre incluido dentro del rango de variación de los datos. Por este motivo, el correcto tratamiento de las formas cóncavas y convexas depende estrechamente de la distribución de los puntos originales y la presencia de datos auxiliares se hace muy conveniente.

La hipótesis de la variable regionalizada (kriging)

El kriging es un método de interpolación con una expresión general similar a la anterior.
La diferencia básica es que asume que la altitud puede definirse como una variable regionalizada.
Esta hipótesis supone que la variación espacial de la variable a representar puede ser explicada al menos parcialmente mediante funciones de correlación espacial: la variación espacial de los valores de z puede deducirse de los valores circundantes de acuerdo con unas funciones homogéneas en toda el área.
Las funciones pueden deducirse analizando la correlación espacial entre los datos en función de la distancia entre ellos midiendo la semivarianza entre datos separados por distancias diferentes (Oliver y Webster, 1990:315, Royle et al., 1981).

Ejemplo de semivariograma donde la varianza real se ajusta a una distribución teórica; ésta es la que se aplica para la estimación de los pesos en la interpolación.

Aunque el kriging es un método de estimación óptimo desde el punto de vista estadístico, presenta algunas dificultades a la hora de ser utilizado como método de construcción de los MDE:

el semivariograma debe ser de validez general para todo el MDE: la interdependencia entre los datos debe ser función exclusivamente de la distancia entre ellos -de su posición relativa- y no de su localización espacial absoluta.
no permite el tratamiento de discontinuidades topográficas que supongan cambios bruscos, como rupturas de pendiente.

Por los motivos anteriores el kriging no suele dar buen resultado en la construcción de MDE, generándose modelos muy suavizados donde la rugosidad del terreno se infravalora fuertemente.

	Parte 16
la interpolación
	Método general: IDW (ponderación por distancia)
	La interpolación del punto problema se realiza asignando pesos a los datos del entorno en función inversa de la distancia que los separa -inverse distance weighting, IDW-. La fórmula general es: donde es el valor estimado para el punto j ; n es el número de puntos usados en la interpolación; z_iel valor en el punto i-ésimo y k_ij el peso asociado al dato i en el cálculo del nodo j. Los pesos k varían entre 0 y 1 para cada dato y la suma total de ellos es la unidad.
	Para establecer una función de proporcionalidad entre el peso y la distancia, la fórmula general queda como sigue: donde y b es un exponente de ponderación que controla la forma en la que el peso disminuye con la distancia.
	Esta familia de métodos permite la generación del MDE de una forma rápida y simple. Sin embargo, se trata esencialmente de una media ponderada y, por tanto, el resultado se encuentra siempre incluido dentro del rango de variación de los datos. Por este motivo, el correcto tratamiento de las formas cóncavas y convexas depende estrechamente de la distribución de los puntos originales y la presencia de datos auxiliares se hace muy conveniente.
	*La hipótesis de la variable regionalizada (kriging)*
	El kriging es un método de interpolación con una expresión general similar a la anterior. La diferencia básica es que asume que la altitud puede definirse como una variable regionalizada. Esta hipótesis supone que la variación espacial de la variable a representar puede ser explicada al menos parcialmente mediante funciones de correlación espacial: la variación espacial de los valores de z puede deducirse de los valores circundantes de acuerdo con unas funciones homogéneas en toda el área. Las funciones pueden deducirse analizando la correlación espacial entre los datos en función de la distancia entre ellos midiendo la semivarianza entre datos separados por distancias diferentes (Oliver y Webster, 1990:315, Royle et al., 1981).
Ejemplo de semivariograma donde la varianza real se ajusta a una distribución teórica; ésta es la que se aplica para la estimación de los pesos en la interpolación.
	Aunque el kriging es un método de estimación óptimo desde el punto de vista estadístico, presenta algunas dificultades a la hora de ser utilizado como método de construcción de los MDE: el semivariograma debe ser de validez general para todo el MDE: la interdependencia entre los datos debe ser función exclusivamente de la distancia entre ellos -de su posición relativa- y no de su localización espacial absoluta. no permite el tratamiento de discontinuidades topográficas que supongan cambios bruscos, como rupturas de pendiente. Por los motivos anteriores el kriging no suele dar buen resultado en la construcción de MDE, generándose modelos muy suavizados donde la rugosidad del terreno se infravalora fuertemente.