3.3 ALGEBRA DE BOOLE

  Per poder manipular d'una manera sistemàtica les expresions lògiques estudiarem l'Algebra de Boole. 

3.3.1 DEFINICIONS, POSTULATS I TEOREMES.

Postulat 
Descripció 
clausura  els elements de B a+b
és un element de B  		els elements de B a*b
és un element de B 
element neutre  
 
commutativa  
distributiva  
complementari  
El complementari d'un element és únic 
Presentarem ara una sèrie de Teoremas fonamentals que resultaran útils per treballar i simplificar finalment expresions de l'Algebra de Boole:
Teorema
Descripció 
idempotència
 
principi de dualitat: 
Tota igualtat que es derivi dels postulats anteriors continuarà essent vàlida si intercanviem els "+" per "*" i els "0" per "1". 
involució
 
absorció
 
associativa
 
 
 
 
lleis de Morgan:
 
Exemples: 

Demostrar que ; 
c.v.d.

Demostrar que ;  c.v.d.

Dem. Associativitat per Taula de Veritat de la operació '*':

3.3.2 FUNCIONS BOOLEANES.

 

Tota funció lògica (o booleana), f(a,b,c,..), pot ésser expresada mitjançant una expresió algebraica on apareixen les variables (a,b,c,...) relacionades per les operacions (+, ,'NOT'). Anomenarem terme canònic a tot terme on apareixen totes les variables, negades o sense negar.

Exemple: 

; on  és un terme (producte) canònic i els altres són termes. 

Un producte canònic rep el nom de minterm. Tota funció es pot expresar mitjançant una suma de minterms(10).

Exemple de desenvolupament per minterms d'una funció a partir de la seva taula de veritat:
a 
b
f(a,b) 
0
0 
0
0
1 
1
1
0 
1
1
1 
0
De forma general escriurem només els minterms de les combinacions per les quals la funció val 1, la variable apareix sense negar si el valor de la combinació associat és 1 i la variable apareix negada si el valor associat és 0.

Per dualitat es pot també expressar una funció com s producte de sumes canòniques, o producte de maxterms ().

Una modalitat molt utilitzada per expressar funcions lògiques és pel format decimal, en aquest cas s'indica el sumatori del les combinacions per les que la funció val 1 espressades en el seu corresponent codi decimal, al exemple anterior seria : 

Finalment, quan les expresions algebraiques son més complexes, pensem en més de 4 variables lògiques, s'utilitzen mètodes de simplificació més generals i sistematics. Uns dels més utilitzats són els mapes de Karnaugh, es basen en una representació gràfica de les funcions on resulta mes senzill fer les simplificacions.



3.3.3 EXERCICIS