PUNTOS Y RECTAS

¿Qué es un punto? Para responder esto nos apoyaremos en una noción intuitiva de posición. Pensamos en un punto como una posición en el espacio. El espacio tiene un número infinito de posibles puntos. Cada una de las posiciones corresponde a un único punto.

¿Cómo es de grande un punto? Se dice que un punto es infinitesimal. Esto significa que no tiene ningún tamaño. Supongamos que tenemos un potente microscopio que puede ampliar un objeto tanto como queramos. Así, si tuviéramos que ver un objeto muy pequeño pero finito con nuestro microscopio, podríamos aumentar la ampliación hasta que fuera tan grande con quisiéramos. Sin embargo, si observamos un punto bajo el microscopio, se vería siempre con el mismo tamaño (muy pequeño). Podríamos aumentar indefinidamente la ampliación y el punto seguiría siendo un punto.

Dados dos puntos, ¿son iguales? Se dice que dos puntos son iguales si son el mismo punto. Dos puntos son dos posiciones en el espacio. Si son diferentes, entonces existe una distancia entre ellos. Esta distancia podría ser muy pequeña, pero si tuviéramos que examinar estos dos puntos con nuestro microscopio podríamos aumentar la ampliación hasta convertirla en algo apreciable. Si los dos puntos fueran iguales (es decir, ambos identifican la misma posición en el espacio), entonces no importa la ampliación que empleemos, no podremos distinguir un punto de otro. Cuando dos puntos son iguales, no son en realidad dos puntos, sino dos nombres distintos para un punto único.

¿Qué es una recta? Responderemos a esta cuestión empleando otro concepto intuitivo, e de la dirección. Dos puntos diferentes especifican una dirección (o, si lo prefiere, dos direcciones - hacia delante y hacia atrás). Consideremos ahora un tercer punto diferente de los otros dos. El primer y tercer punto también especificarán una dirección. Si la dirección definida por el primer y tercer punto es la misma que la dirección definida por el primer y segundo punto, entonces diremos que los tres puntos están situados sobre la misma recta. La recta definida por dos puntos es el conjunto de estos dos puntos y el resto de puntos que satisfacen nuestro test de dirección para pertenecer a la recta; es decir, una recta es la suma de todos los puntos que están situados sobre ella.

¿Cómo podemos especificar un punto? Consideremos primero esta cuestión en un ejemplo sencillo. ¿Cómo identificamos un punto en una recta? Supongamos que tenemos dos puntos (por ejemplo, el punto 0 y el punto 1). Estos dos puntos definen una recta. Como denominamos al punto situado a mitad de camino entre los puntos 0 y 1. Como está en el medio, parece adecuado llamarle punto ½ o 0,5. El punto simétrico al 1 respecto al 0 podría llamarse -1. El punto situado al doble de distancia respecto al 0 que el 1, en su misma dirección, sería el 2. Por lo tanto, podemos emplear la distancia desde el punto 0 para dar nombre a cualquier otro punto. Esto es en realidad lo que hace una regla. Especifica una posición como la distancia a lo largo de una recta desde un punto concreto (punto 0). Si sabemos donde están los punto 0 y 1, entonces podemos identificar cualquier otro punto dando únicamente su distancia.