CONSTRUCCIÓN Y USO DE UN CÓDIGO HAMMING DE PALABRAS CON CUATRO DÍGITOS NO REDUNDANTES

1.- Tareas en el sistema emisor

Cada palabra consta inicialmente de 4 bits. Se trata de añadir a cada palabra un número p de bits y formar palabras de 4+p bits. La transmisión se realiza después de esta ampliación. Se supone que durante la transmisión se puede alterar alguno de los 4+p bits. Pero sólo uno, es decir, que la probabilidad de error en más de un bit es despreciable. Utilizaremos una de las 2^p combinaciones binarias de los bits añadidos para indicar la ausencia de error; y el resto de las 2^p combinaciones para indicar cuál de los bits es el alterado durante la transmisión (puede ser uno cualquiera de los 4+ p). Por esto, el mínimo p debe cumplir:

2^p – 1 ³ 4 + p (Ec. 1)

El menor p que verifica esta condición es p=4.

Inicialmente, las palabras tienen este formato:

Numeramos los bits de esta manera (más adelante se verá por qué esta forma tan rara de numerarlos):

El emisor añade los bits p₁, p₂ y p₃ teniendo en cuenta estas dos normas:

1ª.- Los bits de paridad p_i se intercalan en las posiciones cuyo número es potencia de 2, es decir, tienen un único 1 en el código binario puro de dicho número.

Nº	valores	Bits de la nueva palabra
01	001	p1
02	010	p2
03	011	D3
04	100	P4
05	101	D5
06	110	D6
07	111	(Tabla 1) D7

2ª.- Cada uno de los nuevos bits p_i se construye con una operación EXOR en cascada de los bits iniciales (Di) cuyo número de posición tiene un 1 en el mismo sitio del p_i en cuestión:

p₁ = D3 Å D5 Å D7

p₂ = D3 Å D6 Å D7 (Ec. 2)

p₄ = D5 Å D6 Å D7

Las palabras, ya preparadas para ser enviadas, tienen este formato:

Debido al ruido presente en el canal, puede ser alterado uno de los bits (suponemos que sólo uno). Este es también el formato en el que le llegan al sistema receptor. A continuación vamos a explicar el mecanismo hardware que utiliza el sistema receptor para detectar si hubo error; y en tal caso, averiguar cuál es el bit erróneo para efectuar la corrección.

2.- Tareas en el sistema receptor

En primer lugar, a partir de los 7 bits, construye tres nuevas variables c_i que llevarán a cabo funciones de señales de control. Las define así:

c₁ = p₁ Å D3 Å D5 Å D7

c₂ = p₂ Å D3 Å D6 Å D7 (Ec. 3)

c₃ = p₃ Å D5 Å D6 Å D7

Recordamos que las definiciones no hay que demostrarlas. Son objetos cuya aceptación dependerá de su utilidad para conseguir algún objetivo, como la demostración de algún teorema posterior; o en este caso, la implementación de un mecanismo hardware.

En segundo lugar, a partir de las señales de control c_i , construye (define) 8 funciones de error, de esta manera:

Señales de control	Funciones de error
c3 c2 c1	OK	ep1	ep2	ED3	ep4	ED5	ED6	ED7
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	1 0 0 0 0 0 0 0	0 1 0 0 0 0 0 0	0 0 1 0 0 0 0 0	0 0 0 1 0 0 0 0	0 0 0 0 1 0 0 0	0 0 0 0 0 1 0 0	0 0 0 0 0 0 1 0	0 0 0 0 0 0 0 1

(Tabla 2)

(Ec. 4)

2.1.- Detección

Como puede verse de (3) y de la tabla 2:

Un error en Di provoca un 1 en EDi.

Un error en p_i provoca un 1 en ep_i.

Para saber cuál es el bit erróneo, basta con sondear cuál de las funciones de error está a 1. Vemos ahora la utilidad de los dos conjuntos de definiciones.

2.2.- Corrección

Ya sabemos cómo detectar el error. Pero hay que ir más lejos. El sistema de recepción debe estar diseñado de forma que su usuario no tenga que saber si hubo error; y en tal caso, saber dónde está para corregirlo manualmente. Es el sistema receptor quien debe hacer una corrección automática.

Para ello se hacen estas asociaciones :

ei Di de entrada	Di de salida
0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 0

ei	Di de salida
0
1

(Tabla 3) (Fig. 1) (Tabla 4)

Como vemos:

Si no había error en Di (e_i =0), Di no se ve cambiada en la salida.

Si había error en Di (e_i =1), Di se cambia (se corrige automáticamente en la salida).

El usuario no necesita saber si el bit Di presente en la entrada de la puerta EXOR es correcto o no, pero puede estar seguro de que el que hay a la salida es el correcto.